Resolver {l}{2x+y-17=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 17 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y-17=0$$

Gehitu 17 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+y=17$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+17}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (17x-11y-8=0).

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-11y-8=0$$

Egin 17 bider \frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{289}{2}-11y-8=0$$

Gehitu -\frac{17y}{2} eta -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{289}{2}-8=0$$

Gehitu \frac{289}{2} eta -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{273}{2}=0$$

Egin ken \frac{273}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{273}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{39}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{17}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider 7.

$$x=\frac{-7+17}{2}$$

Gehitu \frac{17}{2} eta -\frac{7}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 17+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 17-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y-17=0,17x-11y-8=0$$

2x eta 17x berdintzeko, biderkatu 17 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$17\times 2x+17y+17\left(-17\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$34x+17y-289=0,34x-22y-16=0$$

Egin 34x-22y-16=0 ken 34x+17y-289=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$34x-34x+17y+22y-289+16=0$$

Gehitu 34x eta -34x. Sinplifikatu egiten dira 34x eta -34x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$17y+22y-289+16=0$$

Gehitu 17y eta 22y.

$$39y-289+16=0$$

Gehitu -289 eta 16.

$$39y-273=0$$

Gehitu 273 ekuazioaren bi aldeetan.

$$39y=273$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 39 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin 17x-11y-8=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$17x-11\times 7-8=0$$

Egin -11 bider 7.

$$17x-77-8=0$$

Gehitu -77 eta -8.

$$17x-85=0$$

Gehitu 85 ekuazioaren bi aldeetan.

$$17x=85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$