Resolver {l}{2x+y=7}{x+5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { x + 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+5y=17).

$$-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}+5y=17$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{7}{2}=17$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{27}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider 3.

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta -\frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-1}&-\frac{1}{2\times 5-1}\\-\frac{1}{2\times 5-1}&\frac{2}{2\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 7-\frac{1}{9}\times 17\\-\frac{1}{9}\times 7+\frac{2}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+y=7,2x+2\times 5y=2\times 17$$

Sinplifikatu.

$$2x+y=7,2x+10y=34$$

Egin 2x+10y=34 ken 2x+y=7 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+y-10y=7-34$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-10y=7-34$$

Gehitu y eta -10y.

$$-9y=7-34$$

Gehitu 7 eta -34.

$$-9y=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x+5y=17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+5\times 3=17$$

Egin 5 bider 3.

$$x+15=17$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$