Resolver {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=12$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=8).

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Egin 3 bider -\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{20}{7}$$

Ordeztu \frac{20}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{20}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Sinplifikatu.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Egin 6x-4y=16 ken 6x+3y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+4y=36-16$$

Gehitu 3y eta 4y.

$$7y=36-16$$

Gehitu 36 eta -16.

$$7y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{20}{7}$$

Ordeztu \frac{20}{7} y balioarekin 3x-2y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Egin -2 bider \frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Gehitu \frac{40}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{96}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{32}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$