Resolver {l}{2x+y=10}{x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y=10,x+2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y=10$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+2y=5).

$$-\frac{1}{2}y+5+2y=5$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta 2y.

$$\frac{3}{2}y+5=5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y=10,x+2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 10-\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y=10,x+2y=5$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+y=10,2x+2\times 2y=2\times 5$$

Sinplifikatu.

$$2x+y=10,2x+4y=10$$

Egin 2x+4y=10 ken 2x+y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+y-4y=10-10$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-4y=10-10$$

Gehitu y eta -4y.

$$-3y=10-10$$

Gehitu 10 eta -10.

$$-3y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x+2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=0$$