Resolver {l}{2x+7y-18=4(x+y)}{5x-4y-13=2(x-y)}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y - 18 = 4 ( x + y ) } \\ { 5 x - 4 y - 13 = 2 ( x - y ) } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=15$$

$$y=16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x+7y-18-4x=4y$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+7y-18=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-2x+7y-18-4y=0$$

3y lortzeko, konbinatu 7y eta -4y.

$$-2x+3y-18=0$$

Gehitu 18 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x+3y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

3x lortzeko, konbinatu 5x eta -2x.

$$3x-4y-13=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x-4y-13+2y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -4y eta 2y.

$$3x-2y-13=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-2y=13$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+3y=18$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-3y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+18\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider -3y+18.

$$x=\frac{3}{2}y-9$$

Ordeztu -9+\frac{3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=13).

$$3\left(\frac{3}{2}y-9\right)-2y=13$$

Egin 3 bider -9+\frac{3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y-27-2y=13$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta -2y.

$$\frac{5}{2}y-27=13$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times 16-9$$

Egin \frac{3}{2} bider 16.

$$x=24-9$$

Gehitu -9 eta 24.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=16$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x+7y-18-4x=4y$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+7y-18=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-2x+7y-18-4y=0$$

3y lortzeko, konbinatu 7y eta -4y.

$$-2x+3y-18=0$$

Gehitu 18 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x+3y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

3x lortzeko, konbinatu 5x eta -2x.

$$3x-4y-13=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x-4y-13+2y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -4y eta 2y.

$$3x-2y-13=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-2y=13$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 18+\frac{3}{5}\times 13\\\frac{3}{5}\times 18+\frac{2}{5}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\16\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=15,y=16$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+7y-18=4x+4y$$

Kendu 4x bi aldeetatik.

$$2x+7y-18-4x=4y$$

-2x lortzeko, konbinatu 2x eta -4x.

$$-2x+7y-18=4y$$

Kendu 4y bi aldeetatik.

$$-2x+7y-18-4y=0$$

3y lortzeko, konbinatu 7y eta -4y.

$$-2x+3y-18=0$$

Gehitu 18 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$-2x+3y=18$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$5x-4y-13=2x-2y$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$5x-4y-13-2x=-2y$$

3x lortzeko, konbinatu 5x eta -2x.

$$3x-4y-13=-2y$$

Gehitu 2y bi aldeetan.

$$3x-4y-13+2y=0$$

-2y lortzeko, konbinatu -4y eta 2y.

$$3x-2y-13=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-2y=13$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+3y=18,3x-2y=13$$

-2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 18,-2\times 3x-2\left(-2\right)y=-2\times 13$$

Sinplifikatu.

$$-6x+9y=54,-6x+4y=-26$$

Egin -6x+4y=-26 ken -6x+9y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6x+6x+9y-4y=54+26$$

Gehitu -6x eta 6x. Sinplifikatu egiten dira -6x eta 6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-4y=54+26$$

Gehitu 9y eta -4y.

$$5y=54+26$$

Gehitu 54 eta 26.

$$5y=80$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=16$$

Ordeztu 16 y balioarekin 3x-2y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times 16=13$$

Egin -2 bider 16.

$$3x-32=13$$

Gehitu 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=15$$

Ebatzi da sistema.

$$x=15,y=16$$