Resolver {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+7y=22$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-7y+22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Ordeztu -\frac{7y}{2}+11 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=-14).

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

Egin 2 bider -\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

Gehitu -7y eta -3y.

$$-10y+22=-14$$

Egin ken 22 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{18}{5} y balioarekin x=-\frac{7}{2}y+11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Egin -\frac{7}{2} bider \frac{18}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Gehitu 11 eta -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Egin 2x-3y=-14 ken 2x+7y=22 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7y+3y=22+14$$

Gehitu 7y eta 3y.

$$10y=22+14$$

Gehitu 22 eta 14.

$$10y=36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=\frac{18}{5}$$

Ordeztu \frac{18}{5} y balioarekin 2x-3y=-14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

Egin -3 bider \frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Gehitu \frac{54}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$