Resolver {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=362$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+362$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+362.

$$x=-2y+181$$

Ordeztu -2y+181 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=153.5).

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

Egin 3 bider -2y+181.

$$-6y+543+2y=153.5$$

Gehitu -6y eta 2y.

$$-4y+543=153.5$$

Egin ken 543 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-389.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=97.375$$

Ordeztu 97.375 y balioarekin x=-2y+181 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times 97.375+181$$

Egin -2 bider 97.375.

$$x=-194.75+181$$

Gehitu 181 eta -194.75.

$$x=-13.75$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-13.75,y=97.375$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

2x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

Sinplifikatu.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

Egin 6x+4y=307 ken 6x+12y=1086 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y-4y=1086-307$$

Gehitu 12y eta -4y.

$$8y=1086-307$$

Gehitu 1086 eta -307.

$$8y=779$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=\frac{779}{8}$$

Ordeztu \frac{779}{8} y balioarekin 3x+2y=153.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

Egin 2 bider \frac{779}{8}.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

Egin ken \frac{779}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{55}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$