Resolver {l}{2x+3y=5}{7x=6-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 2 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{8}{17}\approx 0.470588235$$

$$y = \frac{23}{17} = 1\frac{6}{17} \approx 1.352941176$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=6$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=5$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{-3y+5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=6).

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=6$$

Egin 7 bider \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+2y=6$$

Gehitu -\frac{21y}{2} eta 2y.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Egin ken \frac{35}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{17}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{17}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{23}{17}$$

Ordeztu \frac{23}{17} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{17}+\frac{5}{2}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{23}{17}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{69}{34}+\frac{5}{2}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta -\frac{69}{34} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=6$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 6\\\frac{7}{17}\times 5-\frac{2}{17}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\\\frac{23}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$7x+2y=6$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=5,7x+2y=6$$

2x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 2y=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$14x+21y=35,14x+4y=12$$

Egin 14x+4y=12 ken 14x+21y=35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+21y-4y=35-12$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y-4y=35-12$$

Gehitu 21y eta -4y.

$$17y=35-12$$

Gehitu 35 eta -12.

$$17y=23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=\frac{23}{17}$$

Ordeztu \frac{23}{17} y balioarekin 7x+2y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+2\times \frac{23}{17}=6$$

Egin 2 bider \frac{23}{17}.

$$7x+\frac{46}{17}=6$$

Egin ken \frac{46}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=\frac{56}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{8}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8}{17},y=\frac{23}{17}$$