Resolver {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+2y=6$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-2y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -2y+6.

$$x=-y+3$$

Ordeztu -y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+7y=11).

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

Egin -5 bider -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

Gehitu 5y eta 7y.

$$12y-15=11$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12y=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=\frac{13}{6}$$

Ordeztu \frac{13}{6} y balioarekin x=-y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

Gehitu 3 eta -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

2x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

Egin -10x+14y=22 ken -10x-10y=-30 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y-14y=-30-22$$

Gehitu -10y eta -14y.

$$-24y=-30-22$$

Gehitu -30 eta -22.

$$-24y=-52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=\frac{13}{6}$$

Ordeztu \frac{13}{6} y balioarekin -5x+7y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

Egin 7 bider \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

Egin ken \frac{91}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$