Resolver {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} lortzeko, gehitu \frac{1}{2} eta 2.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 8 eta Y-\frac{1}{2} biderkatzeko.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta X+1 biderkatzeko.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 lortzeko, 9 balioari kendu 4.

$$8Y-4=9X+5$$

Kendu 9X bi aldeetatik.

$$8Y-4-9X=5$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$8Y-9X=5+4$$

9 lortzeko, gehitu 5 eta 4.

$$8Y-9X=9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi X. Horretarako, isolatu X berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Egin ken 4Y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu -2Y+\frac{5}{4} balioa X balioarekin beste ekuazioan (-9X+8Y=9).

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Egin -9 bider -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Gehitu 18Y eta 8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Gehitu \frac{45}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Ordeztu \frac{81}{104} Y balioarekin X=-2Y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, X ebatz dezakezu zuzenean.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Egin -2 bider \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta -\frac{81}{52} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} lortzeko, gehitu \frac{1}{2} eta 2.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 8 eta Y-\frac{1}{2} biderkatzeko.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta X+1 biderkatzeko.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 lortzeko, 9 balioari kendu 4.

$$8Y-4=9X+5$$

Kendu 9X bi aldeetatik.

$$8Y-4-9X=5$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$8Y-9X=5+4$$

9 lortzeko, gehitu 5 eta 4.

$$8Y-9X=9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Atera X eta Y matrize-elementuak.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2 bi aldeetan.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} lortzeko, gehitu \frac{1}{2} eta 2.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 8 eta Y-\frac{1}{2} biderkatzeko.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta X+1 biderkatzeko.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 lortzeko, 9 balioari kendu 4.

$$8Y-4=9X+5$$

Kendu 9X bi aldeetatik.

$$8Y-4-9X=5$$

Gehitu 4 bi aldeetan.

$$8Y-9X=5+4$$

9 lortzeko, gehitu 5 eta 4.

$$8Y-9X=9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X eta -9X berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Sinplifikatu.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Egin -18X+16Y=18 ken -18X-36Y=-\frac{45}{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Gehitu -18X eta 18X. Sinplifikatu egiten dira -18X eta 18X. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Gehitu -36Y eta -16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Gehitu -\frac{45}{2} eta -18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -52 balioarekin.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Ordeztu \frac{81}{104} Y balioarekin -9X+8Y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, X ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Egin 8 bider \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Egin ken \frac{81}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$