Resolver {l}{2+3x-y=20}{x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y+2=20$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x-y=18$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Ordeztu \frac{y}{3}+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+2y=13).

$$\frac{1}{3}y+6+2y=13$$

Gehitu \frac{y}{3} eta 2y.

$$\frac{7}{3}y+6=13$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{3}y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Egin \frac{1}{3} bider 3.

$$x=1+6$$

Gehitu 6 eta 1.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 18+\frac{1}{7}\times 13\\-\frac{1}{7}\times 18+\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-y+2=20,3x+3\times 2y=3\times 13$$

Sinplifikatu.

$$3x-y+2=20,3x+6y=39$$

Egin 3x+6y=39 ken 3x-y+2=20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-y-6y+2=20-39$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-6y+2=20-39$$

Gehitu -y eta -6y.

$$-7y+2=20-39$$

Gehitu 20 eta -39.

$$-7y+2=-19$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x+2y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+2\times 3=13$$

Egin 2 bider 3.

$$x+6=13$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=3$$