Resolver {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$18x-14y=-5$$

Gehitu 14y ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x=14y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

Egin \frac{1}{18} bider 14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

Ordeztu \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} balioa x balioarekin beste ekuazioan (18x+2y=-20).

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

Egin 18 bider \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

Gehitu 14y eta 2y.

$$16y-5=-20$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$16y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Ordeztu -\frac{15}{16} y balioarekin x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

Egin \frac{7}{9} bider -\frac{15}{16}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

Gehitu -\frac{5}{18} eta -\frac{35}{48} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Egin 18x+2y=-20 ken 18x-14y=-5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y-2y=-5+20$$

Gehitu -14y eta -2y.

$$-16y=-5+20$$

Gehitu -5 eta 20.

$$-16y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Ordeztu -\frac{15}{16} y balioarekin 18x+2y=-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

Egin 2 bider -\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

Gehitu \frac{15}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$x=-\frac{145}{144}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$