Resolver {l}{16x+2y=340}{2x+2y=180}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x + 2 y = 340 } \\ { 2 x + 2 y = 180 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{80}{7} = 11\frac{3}{7} \approx 11.428571429$$

$$y = \frac{550}{7} = 78\frac{4}{7} \approx 78.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$16x+2y=340$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x=-2y+340$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+340\right)$$

Egin \frac{1}{16} bider -2y+340.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}$$

Ordeztu -\frac{y}{8}+\frac{85}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=180).

$$2\left(-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}\right)+2y=180$$

Egin 2 bider -\frac{y}{8}+\frac{85}{4}.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{85}{2}+2y=180$$

Gehitu -\frac{y}{4} eta 2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{85}{2}=180$$

Egin ken \frac{85}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{4}y=\frac{275}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{550}{7}$$

Ordeztu \frac{550}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{550}{7}+\frac{85}{4}$$

Egin -\frac{1}{8} bider \frac{550}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{275}{28}+\frac{85}{4}$$

Gehitu \frac{85}{4} eta -\frac{275}{28} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{80}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}\\-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&\frac{16}{16\times 2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 340-\frac{1}{14}\times 180\\-\frac{1}{14}\times 340+\frac{4}{7}\times 180\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{7}\\\frac{550}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

Egin 2x+2y=180 ken 16x+2y=340 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16x-2x+2y-2y=340-180$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16x-2x=340-180$$

Gehitu 16x eta -2x.

$$14x=340-180$$

Gehitu 340 eta -180.

$$14x=160$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$x=\frac{80}{7}$$

Ordeztu \frac{80}{7} x balioarekin 2x+2y=180 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times \frac{80}{7}+2y=180$$

Egin 2 bider \frac{80}{7}.

$$\frac{160}{7}+2y=180$$

Egin ken \frac{160}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=\frac{1100}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{550}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$