Resolver {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$12x-5y=40$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=5y+40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Egin \frac{1}{12} bider 40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} balioa x balioarekin beste ekuazioan (12x-11y=88).

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Egin 12 bider \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

Gehitu 5y eta -11y.

$$-6y+40=88$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-8$$

Ordeztu -8 y balioarekin x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

Egin \frac{5}{12} bider -8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} eta -\frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=-8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Egin 12x-11y=88 ken 12x-5y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y+11y=40-88$$

Gehitu -5y eta 11y.

$$6y=40-88$$

Gehitu 40 eta -88.

$$6y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=-8$$

Ordeztu -8 y balioarekin 12x-11y=88 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Egin -11 bider -8.

$$12x+88=88$$

Egin ken 88 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=-8$$