Resolver {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$11x+5y=7$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=-5y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Egin \frac{1}{11} bider -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Ordeztu \frac{-5y+7}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+3y=21).

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Egin 6 bider \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Gehitu -\frac{30y}{11} eta 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Egin ken \frac{42}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{11} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=63$$

Ordeztu 63 y balioarekin x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Egin -\frac{5}{11} bider 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Gehitu \frac{7}{11} eta -\frac{315}{11} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-28,y=63$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-28,y=63$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 11 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Sinplifikatu.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Egin 66x+33y=231 ken 66x+30y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Gehitu 66x eta -66x. Sinplifikatu egiten dira 66x eta -66x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$30y-33y=42-231$$

Gehitu 30y eta -33y.

$$-3y=42-231$$

Gehitu 42 eta -231.

$$-3y=-189$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=63$$

Ordeztu 63 y balioarekin 6x+3y=21 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+3\times 63=21$$

Egin 3 bider 63.

$$6x+189=21$$

Egin ken 189 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-168$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-28,y=63$$