Resolver {l}{11x+3y=14}{x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 14 } \\ { x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$11x+3y=14$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=-3y+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

Egin \frac{1}{11} bider -3y+14.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}$$

Ordeztu \frac{-3y+14}{11} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+7y=8).

$$-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11}+7y=8$$

Gehitu -\frac{3y}{11} eta 7y.

$$\frac{74}{11}y+\frac{14}{11}=8$$

Egin ken \frac{14}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{74}{11}y=\frac{74}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{74}{11} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{3}{11}y+\frac{14}{11} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{-3+14}{11}$$

Gehitu \frac{14}{11} eta -\frac{3}{11} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 14-\frac{3}{74}\times 8\\-\frac{1}{74}\times 14+\frac{11}{74}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$11x+3y=14,x+7y=8$$

11x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 11 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$11x+3y=14,11x+11\times 7y=11\times 8$$

Sinplifikatu.

$$11x+3y=14,11x+77y=88$$

Egin 11x+77y=88 ken 11x+3y=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$11x-11x+3y-77y=14-88$$

Gehitu 11x eta -11x. Sinplifikatu egiten dira 11x eta -11x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-77y=14-88$$

Gehitu 3y eta -77y.

$$-74y=14-88$$

Gehitu 14 eta -88.

$$-74y=-74$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -74 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x+7y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+7=8$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=1$$