Resolver {l}{1-y=-3x}{x-y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 - y = - 3 x } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$1-y+3x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y+3x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-y+3x=-1,-y+x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-y+3x=-1$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-3x-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\left(-3x-1\right)$$

Egin -1 bider -3x-1.

$$y=3x+1$$

Ordeztu 3x+1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-y+x=1).

$$-\left(3x+1\right)+x=1$$

Egin -1 bider 3x+1.

$$-3x-1+x=1$$

Gehitu -3x eta x.

$$-2x-1=1$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=3x+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=3\left(-1\right)+1$$

Egin 3 bider -1.

$$y=-3+1$$

Gehitu 1 eta -3.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$1-y+3x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y+3x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-y+3x=-1,-y+x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-1-3\left(-1\right)}&-\frac{1}{-1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-2,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3x bi aldeetan.

$$1-y+3x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y+3x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-y+3x=-1,-y+x=1$$

Egin -y+x=1 ken -y+3x=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-y+y+3x-x=-1-1$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-x=-1-1$$

Gehitu 3x eta -x.

$$2x=-1-1$$

Gehitu -1 eta -1.

$$2x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin -y+x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-y-1=1$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-2,x=-1$$