Resolver {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Ebatzi: r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2r-3s=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3r+2s=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi r. Horretarako, isolatu r berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2r-3s=1$$

Gehitu 3s ekuazioaren bi aldeetan.

$$2r=3s+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Ordeztu \frac{3s+1}{2} balioa r balioarekin beste ekuazioan (3r+2s=4).

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Egin 3 bider \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Gehitu \frac{9s}{2} eta 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Egin ken \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$s=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} s balioarekin r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, r ebatz dezakezu zuzenean.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{5}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{15}{26} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$r=\frac{14}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2r-3s=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3r+2s=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera r eta s matrize-elementuak.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2r-3s=1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3r+2s=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r eta 3r berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Sinplifikatu.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Egin 6r+4s=8 ken 6r-9s=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Gehitu 6r eta -6r. Sinplifikatu egiten dira 6r eta -6r. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9s-4s=3-8$$

Gehitu -9s eta -4s.

$$-13s=3-8$$

Gehitu 3 eta -8.

$$-13s=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$s=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} s balioarekin 3r+2s=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, r ebatz dezakezu zuzenean.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Egin 2 bider \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Egin ken \frac{10}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$r=\frac{14}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$