Resolver {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

Egin ken \frac{3y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.4 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

Egin 2.5 bider \frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

Ordeztu \frac{-3y+17}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (0.7x-0.2y=0.8).

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

Egin 0.7 bider \frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

Gehitu -\frac{21y}{40} eta -\frac{y}{5}.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

Egin ken 2.975 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.725y=-2.175$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.725 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-0.75y+4.25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

Egin -0.75 bider 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Gehitu 4.25 eta -2.25 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

\frac{2x}{5} eta \frac{7x}{10} berdintzeko, biderkatu 0.7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

Sinplifikatu.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

Egin 0.28x-0.08y=0.32 ken 0.28x+0.21y=1.19 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Gehitu \frac{7x}{25} eta -\frac{7x}{25}. Sinplifikatu egiten dira \frac{7x}{25} eta -\frac{7x}{25}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Gehitu \frac{21y}{100} eta \frac{2y}{25}.

$$0.29y=1.19-0.32$$

Gehitu 1.19 eta -0.32 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$0.29y=0.87$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.29 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 0.7x-0.2y=0.8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

Egin -0.2 bider 3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

Gehitu 0.6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.7x=1.4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$