Resolver {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.2x+0.1y=-180$$

Egin ken \frac{y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.2x=-0.1y-180$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

Egin 5 bider -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

Ordeztu -\frac{y}{2}-900 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-0.7x-0.2y=480).

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

Egin -0.7 bider -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

Gehitu \frac{7y}{20} eta -\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

Egin ken 630 ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.15y=-150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 0.15 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1000$$

Ordeztu -1000 y balioarekin x=-0.5y-900 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

Egin -0.5 bider -1000.

$$x=500-900$$

Gehitu -900 eta 500.

$$x=-400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-400,y=-1000$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-400,y=-1000$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

\frac{x}{5} eta -\frac{7x}{10} berdintzeko, biderkatu -0.7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

Sinplifikatu.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

Egin -0.14x-0.04y=96 ken -0.14x-0.07y=126 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

Gehitu -\frac{7x}{50} eta \frac{7x}{50}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{7x}{50} eta \frac{7x}{50}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

Gehitu -\frac{7y}{100} eta \frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

Gehitu 126 eta -96.

$$-0.03y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.03 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1000$$

Ordeztu -1000 y balioarekin -0.7x-0.2y=480 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

Egin -0.2 bider -1000.

$$-0.7x+200=480$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.7x=280$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -0.7 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-400$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-400,y=-1000$$