Resolver {l}{0=x+3y+7}{0=2x+y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = x + 3 y + 7 } \\ { 0 = 2 x + y + 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+3y+7=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+3y=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2x+y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x+y=-9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=-7$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y-7$$

Ordeztu -3y-7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=-9).

$$2\left(-3y-7\right)+y=-9$$

Egin 2 bider -3y-7.

$$-6y-14+y=-9$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y-14=-9$$

Gehitu 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-3y-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\left(-1\right)-7$$

Egin -3 bider -1.

$$x=3-7$$

Gehitu -7 eta 3.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+3y+7=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+3y=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2x+y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x+y=-9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-7\right)+\frac{3}{5}\left(-9\right)\\\frac{2}{5}\left(-7\right)-\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$x+3y+7=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x+3y=-7$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$2x+y+9=0$$

Kendu 9 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x+y=-9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=-7,2x+y=-9$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 3y=2\left(-7\right),2x+y=-9$$

Sinplifikatu.

$$2x+6y=-14,2x+y=-9$$

Egin 2x+y=-9 ken 2x+6y=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+6y-y=-14+9$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-y=-14+9$$

Gehitu 6y eta -y.

$$5y=-14+9$$

Gehitu -14 eta 9.

$$5y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 2x+y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-1=-9$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=-1$$