Resolver {l}{-x-2y=26}{8x-5y=-61}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 26 } \\ { 8 x - 5 y = - 61 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-12$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x-2y=26,8x-5y=-61$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x-2y=26$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=2y+26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(2y+26\right)$$

Egin -1 bider 26+2y.

$$x=-2y-26$$

Ordeztu -2y-26 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-5y=-61).

$$8\left(-2y-26\right)-5y=-61$$

Egin 8 bider -2y-26.

$$-16y-208-5y=-61$$

Gehitu -16y eta -5y.

$$-21y-208=-61$$

Gehitu 208 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-21y=147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -21 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=-2y-26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-7\right)-26$$

Egin -2 bider -7.

$$x=14-26$$

Gehitu -26 eta 14.

$$x=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x-2y=26,8x-5y=-61$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-\left(-2\times 8\right)}&-\frac{-2}{-\left(-5\right)-\left(-2\times 8\right)}\\-\frac{8}{-\left(-5\right)-\left(-2\times 8\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-\left(-2\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\\-\frac{8}{21}&-\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-61\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{21}\times 26+\frac{2}{21}\left(-61\right)\\-\frac{8}{21}\times 26-\frac{1}{21}\left(-61\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-12,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x-2y=26,8x-5y=-61$$

-x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\left(-1\right)x+8\left(-2\right)y=8\times 26,-8x-\left(-5y\right)=-\left(-61\right)$$

Sinplifikatu.

$$-8x-16y=208,-8x+5y=61$$

Egin -8x+5y=61 ken -8x-16y=208 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x-16y-5y=208-61$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-16y-5y=208-61$$

Gehitu -16y eta -5y.

$$-21y=208-61$$

Gehitu 208 eta -61.

$$-21y=147$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -21 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin 8x-5y=-61 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-5\left(-7\right)=-61$$

Egin -5 bider -7.

$$8x+35=-61$$

Egin ken 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=-12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-12,y=-7$$