Resolver {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$2y-9x=9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

Egin -1 bider -y+2.

$$x=y-2$$

Ordeztu y-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+2y=9).

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

Egin -9 bider y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

Gehitu -9y eta 2y.

$$-7y+18=9$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=\frac{9}{7}$$

Ordeztu \frac{9}{7} y balioarekin x=y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Gehitu -2 eta \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$2y-9x=9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 9x bi aldeetatik.

$$2y-9x=9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

-x eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Sinplifikatu.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

Egin 9x-2y=-9 ken 9x-9y=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Gehitu 9x eta -9x. Sinplifikatu egiten dira 9x eta -9x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y+2y=-18+9$$

Gehitu -9y eta 2y.

$$-7y=-18+9$$

Gehitu -18 eta 9.

$$-7y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=\frac{9}{7}$$

Ordeztu \frac{9}{7} y balioarekin -9x+2y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

Egin 2 bider \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

Egin ken \frac{18}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$