Resolver {l}{-x+y=-9}{2x+2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-x+y=-9$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-y-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-\left(-y-9\right)$$

Egin -1 bider -y-9.

$$x=y+9$$

Ordeztu y+9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+2y=14).

$$2\left(y+9\right)+2y=14$$

Egin 2 bider y+9.

$$2y+18+2y=14$$

Gehitu 2y eta 2y.

$$4y+18=14$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=y+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1+9$$

Gehitu 9 eta -1.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

-x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\left(-9\right),-2x-2y=-14$$

Sinplifikatu.

$$-2x+2y=-18,-2x-2y=-14$$

Egin -2x-2y=-14 ken -2x+2y=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x+2y+2y=-18+14$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+2y=-18+14$$

Gehitu 2y eta 2y.

$$4y=-18+14$$

Gehitu -18 eta 14.

$$4y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 2x+2y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+2\left(-1\right)=14$$

Egin 2 bider -1.

$$2x-2=14$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=-1$$