Resolver {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x-9y=-10$$

Gehitu 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=9y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider 9y-10.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x-3y=10).

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

Egin -4 bider -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

Gehitu \frac{9y}{2} eta -3y.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}y=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{9}{8} bider 10.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta -\frac{45}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-10,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

-8x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

Sinplifikatu.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

Egin 32x+24y=-80 ken 32x+36y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

Gehitu 32x eta -32x. Sinplifikatu egiten dira 32x eta -32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y-24y=40+80$$

Gehitu 36y eta -24y.

$$12y=40+80$$

Gehitu 40 eta 80.

$$12y=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin -4x-3y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x-3\times 10=10$$

Egin -3 bider 10.

$$-4x-30=10$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-10,y=10$$