Resolver {l}{-6x+2y=6}{4x-4y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 2 y = 6 } \\ { 4 x - 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6x+2y=6$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6x=-2y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-2y+6\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -2y+6.

$$x=\frac{1}{3}y-1$$

Ordeztu \frac{y}{3}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-4y=-20).

$$4\left(\frac{1}{3}y-1\right)-4y=-20$$

Egin 4 bider \frac{y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-4-4y=-20$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta -4y.

$$-\frac{8}{3}y-4=-20$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{8}{3}y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=\frac{1}{3}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 6-1$$

Egin \frac{1}{3} bider 6.

$$x=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{2}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{-6\left(-4\right)-2\times 4}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{8}\left(-20\right)\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{3}{8}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6x+2y=6,4x-4y=-20$$

-6x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-6\right)x+4\times 2y=4\times 6,-6\times 4x-6\left(-4\right)y=-6\left(-20\right)$$

Sinplifikatu.

$$-24x+8y=24,-24x+24y=120$$

Egin -24x+24y=120 ken -24x+8y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-24x+24x+8y-24y=24-120$$

Gehitu -24x eta 24x. Sinplifikatu egiten dira -24x eta 24x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-24y=24-120$$

Gehitu 8y eta -24y.

$$-16y=24-120$$

Gehitu 24 eta -120.

$$-16y=-96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin 4x-4y=-20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-4\times 6=-20$$

Egin -4 bider 6.

$$4x-24=-20$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=6$$