Resolver {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+8y=0$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-8y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

Egin -\frac{1}{5} bider -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

Ordeztu \frac{8y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x-8y=-96).

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

Egin -7 bider \frac{8y}{5}.

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

Gehitu -\frac{56y}{5} eta -8y.

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{96}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=\frac{8}{5}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

Egin \frac{8}{5} bider 5.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

-5x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

Sinplifikatu.

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

Egin 35x+40y=480 ken 35x-56y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

Gehitu 35x eta -35x. Sinplifikatu egiten dira 35x eta -35x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-56y-40y=-480$$

Gehitu -56y eta -40y.

$$-96y=-480$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -96 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin -7x-8y=-96 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x-8\times 5=-96$$

Egin -8 bider 5.

$$-7x-40=-96$$

Gehitu 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=5$$