Resolver {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5x+3y=3$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=-3y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Egin -\frac{1}{5} bider -3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{-3+3y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y=30).

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Egin 4 bider \frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Gehitu \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{27}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=6$$

Ordeztu 6 y balioarekin x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider 6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{18}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Egin 4x+3y=30 ken -5x+3y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5x-4x=3-30$$

Gehitu -5x eta -4x.

$$-9x=3-30$$

Gehitu 3 eta -30.

$$-9x=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=3$$

Ordeztu 3 x balioarekin 4x+3y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4\times 3+3y=30$$

Egin 4 bider 3.

$$12+3y=30$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=6$$