Resolver {l}{-4y+11x-67=0}{2y+5x-19=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 y + 11 x - 67 = 0 } \\ { 2 y + 5 x - 19 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=5$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4y+11x-67=0,2y+5x-19=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4y+11x-67=0$$

Gehitu 67 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y+11x=67$$

Egin ken 11x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-11x+67$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{4}\left(-11x+67\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider -11x+67.

$$y=\frac{11}{4}x-\frac{67}{4}$$

Ordeztu \frac{11x-67}{4} balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+5x-19=0).

$$2\left(\frac{11}{4}x-\frac{67}{4}\right)+5x-19=0$$

Egin 2 bider \frac{11x-67}{4}.

$$\frac{11}{2}x-\frac{67}{2}+5x-19=0$$

Gehitu \frac{11x}{2} eta 5x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{67}{2}-19=0$$

Gehitu -\frac{67}{2} eta -19.

$$\frac{21}{2}x-\frac{105}{2}=0$$

Gehitu \frac{105}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{21}{2}x=\frac{105}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{21}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin y=\frac{11}{4}x-\frac{67}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{11}{4}\times 5-\frac{67}{4}$$

Egin \frac{11}{4} bider 5.

$$y=\frac{55-67}{4}$$

Gehitu -\frac{67}{4} eta \frac{55}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4y+11x-67=0,2y+5x-19=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&11\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-4\times 5-11\times 2}&-\frac{11}{-4\times 5-11\times 2}\\-\frac{2}{-4\times 5-11\times 2}&-\frac{4}{-4\times 5-11\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{42}&\frac{11}{42}\\\frac{1}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{42}\times 67+\frac{11}{42}\times 19\\\frac{1}{21}\times 67+\frac{2}{21}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4y+11x-67=0,2y+5x-19=0$$

-4y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-4\right)y+2\times 11x+2\left(-67\right)=0,-4\times 2y-4\times 5x-4\left(-19\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$-8y+22x-134=0,-8y-20x+76=0$$

Egin -8y-20x+76=0 ken -8y+22x-134=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8y+8y+22x+20x-134-76=0$$

Gehitu -8y eta 8y. Sinplifikatu egiten dira -8y eta 8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$22x+20x-134-76=0$$

Gehitu 22x eta 20x.

$$42x-134-76=0$$

Gehitu -134 eta -76.

$$42x-210=0$$

Gehitu 210 ekuazioaren bi aldeetan.

$$42x=210$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 42 balioarekin.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin 2y+5x-19=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+5\times 5-19=0$$

Egin 5 bider 5.

$$2y+25-19=0$$

Gehitu 25 eta -19.

$$2y+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=5$$