Resolver {l}{-4x-3y=28}{4x+6y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 3 y = 28 } \\ { 4 x + 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-13$$

$$y=8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-4x-3y=28,4x+6y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-4x-3y=28$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=3y+28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+28\right)$$

Egin -\frac{1}{4} bider 3y+28.

$$x=-\frac{3}{4}y-7$$

Ordeztu -\frac{3y}{4}-7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+6y=-4).

$$4\left(-\frac{3}{4}y-7\right)+6y=-4$$

Egin 4 bider -\frac{3y}{4}-7.

$$-3y-28+6y=-4$$

Gehitu -3y eta 6y.

$$3y-28=-4$$

Gehitu 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8-7$$

Egin -\frac{3}{4} bider 8.

$$x=-6-7$$

Gehitu -7 eta -6.

$$x=-13$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-13,y=8$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-4x-3y=28,4x+6y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-4\times 6-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-4\times 6-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-4\times 6-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{4}{-4\times 6-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 28-\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}\times 28+\frac{1}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\8\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-13,y=8$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-4x-3y=28,4x+6y=-4$$

-4x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\left(-4\right)x+4\left(-3\right)y=4\times 28,-4\times 4x-4\times 6y=-4\left(-4\right)$$

Sinplifikatu.

$$-16x-12y=112,-16x-24y=16$$

Egin -16x-24y=16 ken -16x-12y=112 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-16x+16x-12y+24y=112-16$$

Gehitu -16x eta 16x. Sinplifikatu egiten dira -16x eta 16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+24y=112-16$$

Gehitu -12y eta 24y.

$$12y=112-16$$

Gehitu 112 eta -16.

$$12y=96$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=8$$

Ordeztu 8 y balioarekin 4x+6y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+6\times 8=-4$$

Egin 6 bider 8.

$$4x+48=-4$$

Egin ken 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-52$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-13$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-13,y=8$$