Resolver {l}{-2x+6y=0}{-7x+8y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 6 y = 0 } \\ { - 7 x + 8 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

$$y=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2x+6y=0$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-6y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)y$$

Egin -\frac{1}{2} bider -6y.

$$x=3y$$

Ordeztu 3y balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+8y=-5).

$$-7\times 3y+8y=-5$$

Egin -7 bider 3y.

$$-21y+8y=-5$$

Gehitu -21y eta 8y.

$$-13y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} y balioarekin x=3y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times \frac{5}{13}$$

Egin 3 bider \frac{5}{13}.

$$x=\frac{15}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&6\\-7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-2\times 8-6\left(-7\right)}&-\frac{6}{-2\times 8-6\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-2\times 8-6\left(-7\right)}&-\frac{2}{-2\times 8-6\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{7}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-5\right)\\-\frac{1}{13}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2x+6y=0,-7x+8y=-5$$

-2x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\left(-2\right)x-7\times 6y=0,-2\left(-7\right)x-2\times 8y=-2\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$14x-42y=0,14x-16y=10$$

Egin 14x-16y=10 ken 14x-42y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x-42y+16y=-10$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-42y+16y=-10$$

Gehitu -42y eta 16y.

$$-26y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=\frac{5}{13}$$

Ordeztu \frac{5}{13} y balioarekin -7x+8y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+8\times \frac{5}{13}=-5$$

Egin 8 bider \frac{5}{13}.

$$-7x+\frac{40}{13}=-5$$

Egin ken \frac{40}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=-\frac{105}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=\frac{15}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{13},y=\frac{5}{13}$$