Resolver {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-12x+10y=-10$$

Egin ken 10y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-12x=-10y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

Egin -\frac{1}{12} bider -10y-10.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

Ordeztu \frac{5+5y}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-7y=-5).

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

Egin 6 bider \frac{5+5y}{6}.

$$5y+5-7y=-5$$

Gehitu 5y eta -7y.

$$-2y+5=-5$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

Egin \frac{5}{6} bider 5.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} eta \frac{25}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

-12x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -12 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

Egin -72x+84y=60 ken -72x+60y=-60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

Gehitu -72x eta 72x. Sinplifikatu egiten dira -72x eta 72x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$60y-84y=-60-60$$

Gehitu 60y eta -84y.

$$-24y=-60-60$$

Gehitu -60 eta -60.

$$-24y=-120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 6x-7y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-7\times 5=-5$$

Egin -7 bider 5.

$$6x-35=-5$$

Gehitu 35 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=5$$