Resolver {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-7 biderkatzeko.

$$2x-6=5y-35$$

Kendu 5y bi aldeetatik.

$$2x-6-5y=-35$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 lortzeko, gehitu -35 eta 6.

$$2x-5y=-29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 13y bi aldeetatik.

$$11x-13y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-5y=-29$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=5y-29$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Ordeztu \frac{5y-29}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (11x-13y=0).

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Egin 11 bider \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Gehitu \frac{55y}{2} eta -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Gehitu \frac{319}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Egin \frac{5}{2} bider 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Gehitu -\frac{29}{2} eta \frac{55}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=13$$

Ebatzi da sistema.

$$x=13,y=11$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-7 biderkatzeko.

$$2x-6=5y-35$$

Kendu 5y bi aldeetatik.

$$2x-6-5y=-35$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 lortzeko, gehitu -35 eta 6.

$$2x-5y=-29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 13y bi aldeetatik.

$$11x-13y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=13,y=11$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5 eta y-7 biderkatzeko.

$$2x-6=5y-35$$

Kendu 5y bi aldeetatik.

$$2x-6-5y=-35$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$2x-5y=-35+6$$

-29 lortzeko, gehitu -35 eta 6.

$$2x-5y=-29$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 13y bi aldeetatik.

$$11x-13y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

2x eta 11x berdintzeko, biderkatu 11 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Egin 22x-26y=0 ken 22x-55y=-319 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Gehitu 22x eta -22x. Sinplifikatu egiten dira 22x eta -22x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-55y+26y=-319$$

Gehitu -55y eta 26y.

$$-29y=-319$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -29 balioarekin.

$$y=11$$

Ordeztu 11 y balioarekin 11x-13y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$11x-13\times 11=0$$

Egin -13 bider 11.

$$11x-143=0$$

Gehitu 143 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11x=143$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$x=13$$

Ebatzi da sistema.

$$x=13,y=11$$