Resolver {l}{x/4+y/3=0}{x/2+y/6=-frac{3}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 0 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0$$

Egin ken \frac{y}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}\right)y$$

Egin 4 bider -\frac{y}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Ordeztu -\frac{4y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}).

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{3}\right)y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{4y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta \frac{y}{6}.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3$$

Egin -\frac{4}{3} bider 3.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{8}{3}\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)\\-2\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{x}{4} eta \frac{x}{2} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{2} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{4} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}y=0,\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0,\frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8}$$

Egin \frac{1}{8}x+\frac{1}{24}y=-\frac{3}{8} ken \frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}x+\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

Gehitu \frac{x}{8} eta -\frac{x}{8}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{8} eta -\frac{x}{8}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=\frac{3}{8}$$

Gehitu \frac{y}{6} eta -\frac{y}{24}.

$$\frac{1}{8}y=\frac{3}{8}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\times 3=-\frac{3}{2}$$

Egin \frac{1}{6} bider 3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=-2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$