Resolver {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin (25,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 lortzeko, biderkatu 2 eta 27.

$$54x+45y=50400$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$54x+45y=50400$$

Egin ken 45y ekuazioaren bi aldeetan.

$$54x=-45y+50400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Egin \frac{1}{54} bider -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Ordeztu -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028).

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Egin \frac{11}{10} bider -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Gehitu -\frac{11y}{12} eta \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Egin ken \frac{3080}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{461}{60} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{80}{461}$$

Ordeztu \frac{80}{461} y balioarekin x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Egin -\frac{5}{6} bider \frac{80}{461}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Gehitu \frac{2800}{3} eta -\frac{200}{1383} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin (25,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 lortzeko, biderkatu 2 eta 27.

$$54x+45y=50400$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin (25,10 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 lortzeko, biderkatu 2 eta 27.

$$54x+45y=50400$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x eta \frac{11x}{10} berdintzeko, biderkatu \frac{11}{10} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 54 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Sinplifikatu.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Egin \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 ken \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Gehitu \frac{297x}{5} eta -\frac{297x}{5}. Sinplifikatu egiten dira \frac{297x}{5} eta -\frac{297x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Gehitu \frac{99y}{2} eta -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Gehitu 55440 eta -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4149}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{80}{461}$$

Ordeztu \frac{80}{461} y balioarekin \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Egin \frac{43}{5} bider \frac{80}{461}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Egin ken \frac{688}{461} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{430200}{461}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$