Resolver {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-2y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x lortzeko, konbinatu 8x eta -3x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y lortzeko, konbinatu -4y eta 6y.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 lortzeko, 12 balioari kendu 9.

$$5x+2y+3=48$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$5x+2y=48-3$$

45 lortzeko, 48 balioari kendu 3.

$$5x+2y=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-4y+3 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 4x-2y-9 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x lortzeko, konbinatu 9x eta 16x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y lortzeko, konbinatu -12y eta -8y.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 lortzeko, 9 balioari kendu 36.

$$25x-20y-27=48$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$25x-20y=48+27$$

75 lortzeko, gehitu 48 eta 27.

$$25x-20y=75$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+2y=45$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-2y+45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Ordeztu -\frac{2y}{5}+9 balioa x balioarekin beste ekuazioan (25x-20y=75).

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Egin 25 bider -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Gehitu -10y eta -20y.

$$-30y+225=75$$

Egin ken 225 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-30y=-150$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=-\frac{2}{5}y+9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Egin -\frac{2}{5} bider 5.

$$x=-2+9$$

Gehitu 9 eta -2.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-2y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x lortzeko, konbinatu 8x eta -3x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y lortzeko, konbinatu -4y eta 6y.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 lortzeko, 12 balioari kendu 9.

$$5x+2y+3=48$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$5x+2y=48-3$$

45 lortzeko, 48 balioari kendu 3.

$$5x+2y=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-4y+3 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 4x-2y-9 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x lortzeko, konbinatu 9x eta 16x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y lortzeko, konbinatu -12y eta -8y.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 lortzeko, 9 balioari kendu 36.

$$25x-20y-27=48$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$25x-20y=48+27$$

75 lortzeko, gehitu 48 eta 27.

$$25x-20y=75$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=7,y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 2x-y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta x-2y+3 biderkatzeko.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x lortzeko, konbinatu 8x eta -3x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y lortzeko, konbinatu -4y eta 6y.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 lortzeko, 12 balioari kendu 9.

$$5x+2y+3=48$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$5x+2y=48-3$$

45 lortzeko, 48 balioari kendu 3.

$$5x+2y=45$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-4y+3 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta 4x-2y-9 biderkatzeko.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x lortzeko, konbinatu 9x eta 16x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y lortzeko, konbinatu -12y eta -8y.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 lortzeko, 9 balioari kendu 36.

$$25x-20y-27=48$$

Gehitu 27 bi aldeetan.

$$25x-20y=48+27$$

75 lortzeko, gehitu 48 eta 27.

$$25x-20y=75$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x eta 25x berdintzeko, biderkatu 25 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Sinplifikatu.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Egin 125x-100y=375 ken 125x+50y=1125 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Gehitu 125x eta -125x. Sinplifikatu egiten dira 125x eta -125x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$50y+100y=1125-375$$

Gehitu 50y eta 100y.

$$150y=1125-375$$

Gehitu 1125 eta -375.

$$150y=750$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 150 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 25x-20y=75 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$25x-20\times 5=75$$

Egin -20 bider 5.

$$25x-100=75$$

Gehitu 100 ekuazioaren bi aldeetan.

$$25x=175$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$x=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=7,y=5$$