Resolver {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta \frac{2}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+3-3y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$2x-3y=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 2y-5 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Erabili banaketa-propietatea -2y eta x+3 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 lortzeko, konbinatu 2xy eta -2yx.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x-6y=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=-5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{3y-5}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x-6y=1).

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Egin -7 bider \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Gehitu -\frac{21y}{2} eta -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Egin ken \frac{35}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{33}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Gehitu -\frac{5}{2} eta \frac{3}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta \frac{2}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+3-3y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$2x-3y=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 2y-5 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Erabili banaketa-propietatea -2y eta x+3 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 lortzeko, konbinatu 2xy eta -2yx.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x-6y=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. y aldagaia eta \frac{2}{3} ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Kendu 3y bi aldeetatik.

$$2x+3-3y=-2$$

Kendu 3 bi aldeetatik.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 lortzeko, -2 balioari kendu 3.

$$2x-3y=-5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea x eta 2y-5 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Erabili banaketa-propietatea -2y eta x+3 biderkatzeko.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 lortzeko, konbinatu 2xy eta -2yx.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x lortzeko, konbinatu -5x eta -2x.

$$-7x-6y=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

2x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Sinplifikatu.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Egin -14x-12y=2 ken -14x+21y=35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Gehitu -14x eta 14x. Sinplifikatu egiten dira -14x eta 14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$21y+12y=35-2$$

Gehitu 21y eta 12y.

$$33y=35-2$$

Gehitu 35 eta -2.

$$33y=33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin -7x-6y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x-6=1$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=1$$