Resolver {l}{1/4x+1/2y=-6}{-1/3x+1/6y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - 6 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{84}{5} = -16\frac{4}{5} = -16.8$$

$$y = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6$$

Egin ken \frac{y}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}y-6$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=4\left(-\frac{1}{2}y-6\right)$$

Egin 4 bider -\frac{y}{2}-6.

$$x=-2y-24$$

Ordeztu -2y-24 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5).

$$-\frac{1}{3}\left(-2y-24\right)+\frac{1}{6}y=5$$

Egin -\frac{1}{3} bider -2y-24.

$$\frac{2}{3}y+8+\frac{1}{6}y=5$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta \frac{y}{6}.

$$\frac{5}{6}y+8=5$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{6}y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{18}{5}$$

Ordeztu -\frac{18}{5} y balioarekin x=-2y-24 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{18}{5}\right)-24$$

Egin -2 bider -\frac{18}{5}.

$$x=\frac{36}{5}-24$$

Gehitu -24 eta \frac{36}{5}.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-6\right)-\frac{12}{5}\times 5\\\frac{8}{5}\left(-6\right)+\frac{6}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{84}{5}\\-\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

\frac{x}{4} eta -\frac{x}{3} berdintzeko, biderkatu -\frac{1}{3} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{4} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}\left(-6\right),\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\times 5$$

Sinplifikatu.

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2,-\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4} ken -\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Gehitu -\frac{x}{12} eta \frac{x}{12}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{x}{12} eta \frac{x}{12}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Gehitu -\frac{y}{6} eta -\frac{y}{24}.

$$-\frac{5}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

Gehitu 2 eta -\frac{5}{4}.

$$-\frac{5}{24}y=\frac{3}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{24} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{18}{5}$$

Ordeztu -\frac{18}{5} y balioarekin -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{18}{5}\right)=5$$

Egin \frac{1}{6} bider -\frac{18}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{3}{5}=5$$

Gehitu \frac{3}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{28}{5}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$