Resolver {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

Gehitu \frac{2y}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

Egin 2 bider \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

Ordeztu \frac{4y}{3}+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+3y=6).

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

Gehitu \frac{4y}{3} eta 3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Ordeztu -\frac{12}{13} y balioarekin x=\frac{4}{3}y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

Egin \frac{4}{3} bider -\frac{12}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

Gehitu 10 eta -\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

\frac{x}{2} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu \frac{1}{2} balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

Sinplifikatu.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

Egin \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 ken \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Ordeztu -\frac{12}{13} y balioarekin x+3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

Egin 3 bider -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

Gehitu \frac{36}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{114}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$