Resolver {c}{y=3+x}{5x-2y=0}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 3 + x } \\ { 5 x - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=3$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+3$$

Ordeztu x+3 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-2y+5x=0).

$$-2\left(x+3\right)+5x=0$$

Egin -2 bider x+3.

$$-2x-6+5x=0$$

Gehitu -2x eta 5x.

$$3x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=x+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2+3$$

Gehitu 3 eta 2.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=5,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=3,-2y+5x=0$$

y eta -2y berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2y-2\left(-1\right)x=-2\times 3,-2y+5x=0$$

Sinplifikatu.

$$-2y+2x=-6,-2y+5x=0$$

Egin -2y+5x=0 ken -2y+2x=-6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2y+2y+2x-5x=-6$$

Gehitu -2y eta 2y. Sinplifikatu egiten dira -2y eta 2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-5x=-6$$

Gehitu 2x eta -5x.

$$-3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin -2y+5x=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2y+5\times 2=0$$

Egin 5 bider 2.

$$-2y+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2y=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=5,x=2$$