Resolver {c}{x*2=y}{3*x-18=y-18}

$$\left. \begin{array} { c } { x \cdot 2 = y } \\ { 3 \cdot x - 18 = y - 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 2-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-18-y=-18$$

Gehitu 18 bi aldeetan.

$$3x-y=-18+18$$

0 lortzeko, gehitu -18 eta 18.

$$3x-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-y=0,3x-y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-y=0$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}y$$

Ordeztu \frac{y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=0).

$$3\times \frac{1}{2}y-y=0$$

Egin 3 bider \frac{y}{2}.

$$\frac{3}{2}y-y=0$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -y.

$$\frac{1}{2}y=0$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{1}{2}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 2-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-18-y=-18$$

Gehitu 18 bi aldeetan.

$$3x-y=-18+18$$

0 lortzeko, gehitu -18 eta 18.

$$3x-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-y=0,3x-y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x\times 2-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-18-y=-18$$

Gehitu 18 bi aldeetan.

$$3x-y=-18+18$$

0 lortzeko, gehitu -18 eta 18.

$$3x-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-y=0,3x-y=0$$

Egin 3x-y=0 ken 2x-y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-3x-y+y=0$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-3x=0$$

Gehitu 2x eta -3x.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin 3x-y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$