Resolver {c}{x+y=0}{4y+x=1}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 0 } \\ { 4 y + x = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=0$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y$$

Ordeztu -y balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+4y=1).

$$-y+4y=1$$

Gehitu -y eta 4y.

$$3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x=-y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-1}&-\frac{1}{4-1}\\-\frac{1}{4-1}&\frac{1}{4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=0,x+4y=1$$

Egin x+4y=1 ken x+y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+y-4y=-1$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-4y=-1$$

Gehitu y eta -4y.

$$-3y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x+4y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+4\times \frac{1}{3}=1$$

Egin 4 bider \frac{1}{3}.

$$x+\frac{4}{3}=1$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{1}{3}$$