Resolver {c}{M+F=100}{2M+12F=2400}

$$\left. \begin{array} { c } { M + F = 100 } \\ { 2 M + 12 F = 2400 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: M, F

$$M=-120$$

$$F=220$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi M. Horretarako, isolatu M berdin ikurraren ezkerraldean.

$$M+F=100$$

Egin ken F ekuazioaren bi aldeetan.

$$M=-F+100$$

Ordeztu -F+100 balioa M balioarekin beste ekuazioan (2M+12F=2400).

$$2\left(-F+100\right)+12F=2400$$

Egin 2 bider -F+100.

$$-2F+200+12F=2400$$

Gehitu -2F eta 12F.

$$10F+200=2400$$

Egin ken 200 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10F=2200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$F=220$$

Ordeztu 220 F balioarekin M=-F+100 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, M ebatz dezakezu zuzenean.

$$M=-220+100$$

Gehitu 100 eta -220.

$$M=-120$$

Ebatzi da sistema.

$$M=-120,F=220$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-2}&-\frac{1}{12-2}\\-\frac{2}{12-2}&\frac{1}{12-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 100-\frac{1}{10}\times 2400\\-\frac{1}{5}\times 100+\frac{1}{10}\times 2400\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\220\end{matrix}\right)$$

Atera M eta F matrize-elementuak.

$$M=-120,F=220$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

M eta 2M berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2M+2F=2\times 100,2M+12F=2400$$

Sinplifikatu.

$$2M+2F=200,2M+12F=2400$$

Egin 2M+12F=2400 ken 2M+2F=200 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2M-2M+2F-12F=200-2400$$

Gehitu 2M eta -2M. Sinplifikatu egiten dira 2M eta -2M. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2F-12F=200-2400$$

Gehitu 2F eta -12F.

$$-10F=200-2400$$

Gehitu 200 eta -2400.

$$-10F=-2200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$F=220$$

Ordeztu 220 F balioarekin 2M+12F=2400 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, M ebatz dezakezu zuzenean.

$$2M+12\times 220=2400$$

Egin 12 bider 220.

$$2M+2640=2400$$

Egin ken 2640 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2M=-240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$M=-120$$

Ebatzi da sistema.

$$M=-120,F=220$$