Resolver {c}{8x+4y=10}{4x+9y=30}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+4y=10$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-4y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -4y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+9y=30).

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

Egin 4 bider -\frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$-2y+5+9y=30$$

Gehitu -2y eta 9y.

$$7y+5=30$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{25}{7}$$

Ordeztu \frac{25}{7} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{25}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta -\frac{25}{14} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

8x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

Sinplifikatu.

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

Egin 32x+72y=240 ken 32x+16y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

Gehitu 32x eta -32x. Sinplifikatu egiten dira 32x eta -32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16y-72y=40-240$$

Gehitu 16y eta -72y.

$$-56y=40-240$$

Gehitu 40 eta -240.

$$-56y=-200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -56 balioarekin.

$$y=\frac{25}{7}$$

Ordeztu \frac{25}{7} y balioarekin 4x+9y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

Egin 9 bider \frac{25}{7}.

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

Egin ken \frac{225}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-\frac{15}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$