Resolver {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=8$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (16x-y=14).

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

Egin 16 bider -\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

Gehitu -8y eta -y.

$$-9y+32=14$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2.

$$x=-1+2$$

Gehitu 2 eta -1.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

4x eta 16x berdintzeko, biderkatu 16 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Sinplifikatu.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Egin 64x-4y=56 ken 64x+32y=128 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

Gehitu 64x eta -64x. Sinplifikatu egiten dira 64x eta -64x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$32y+4y=128-56$$

Gehitu 32y eta 4y.

$$36y=128-56$$

Gehitu 128 eta -56.

$$36y=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 16x-y=14 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$16x-2=14$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$16x=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$