Resolver {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+4y=1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu -2y+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=2).

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Egin 5 bider -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Gehitu -10y eta -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=\frac{1}{22}$$

Ordeztu \frac{1}{22} y balioarekin x=-2y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Egin -2 bider \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta -\frac{1}{11} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

2x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Sinplifikatu.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Egin 10x-2y=4 ken 10x+20y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Gehitu 10x eta -10x. Sinplifikatu egiten dira 10x eta -10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$20y+2y=5-4$$

Gehitu 20y eta 2y.

$$22y=5-4$$

Gehitu 5 eta -4.

$$22y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 22 balioarekin.

$$y=\frac{1}{22}$$

Ordeztu \frac{1}{22} y balioarekin 5x-y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Gehitu \frac{1}{22} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{9}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$