Resolver {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x+3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=20$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+3y=10$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-3y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Ordeztu -\frac{3y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=20).

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Egin 4 bider -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Gehitu -6y eta -3y.

$$-9y+20=20$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=-\frac{3}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x+3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=20$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 10 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$2x+3y=10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=20$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

2x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Sinplifikatu.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Egin 8x-6y=40 ken 8x+12y=40 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+6y=40-40$$

Gehitu 12y eta 6y.

$$18y=40-40$$

Gehitu 40 eta -40.

$$18y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin 4x-3y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=0$$