Resolver {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+y=4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-4y=19).

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Gehitu -\frac{y}{6} eta -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{25}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Ordeztu -\frac{22}{5} y balioarekin x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Egin -\frac{1}{6} bider -\frac{22}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{11}{15} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

6x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Sinplifikatu.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Egin 6x-24y=114 ken 6x+y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y+24y=4-114$$

Gehitu y eta 24y.

$$25y=4-114$$

Gehitu 4 eta -114.

$$25y=-110$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Ordeztu -\frac{22}{5} y balioarekin x-4y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Egin -4 bider -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Egin ken \frac{88}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$