Resolver {r}{2x+7y=10}{8x+y=13}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 7 y = 10 } \\ { 8 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+7y=10$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-7y+10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -7y+10.

$$x=-\frac{7}{2}y+5$$

Ordeztu -\frac{7y}{2}+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+y=13).

$$8\left(-\frac{7}{2}y+5\right)+y=13$$

Egin 8 bider -\frac{7y}{2}+5.

$$-28y+40+y=13$$

Gehitu -28y eta y.

$$-27y+40=13$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-27y=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -27 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-\frac{7}{2}y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{2}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-7\times 8}&-\frac{7}{2-7\times 8}\\-\frac{8}{2-7\times 8}&\frac{2}{2-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{7}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 10+\frac{7}{54}\times 13\\\frac{4}{27}\times 10-\frac{1}{27}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+7y=10,8x+y=13$$

2x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 2x+8\times 7y=8\times 10,2\times 8x+2y=2\times 13$$

Sinplifikatu.

$$16x+56y=80,16x+2y=26$$

Egin 16x+2y=26 ken 16x+56y=80 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16x-16x+56y-2y=80-26$$

Gehitu 16x eta -16x. Sinplifikatu egiten dira 16x eta -16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$56y-2y=80-26$$

Gehitu 56y eta -2y.

$$54y=80-26$$

Gehitu 80 eta -26.

$$54y=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 54 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 8x+y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+1=13$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$