Resolver {l}{y=x-2}{y=4x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 2 } \\ { y = 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=-2$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x-2$$

Ordeztu x-2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-4x=1).

$$x-2-4x=1$$

Gehitu x eta -4x.

$$-3x-2=1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=x-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-1-2$$

Gehitu -2 eta -1.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-3,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=-2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$y-4x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Egin y-4x=1 ken y-x=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-x+4x=-2-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x+4x=-2-1$$

Gehitu -x eta 4x.

$$3x=-2-1$$

Gehitu -2 eta -1.

$$3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y-4x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-4\left(-1\right)=1$$

Egin -4 bider -1.

$$y+4=1$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-3,x=-1$$